Современная электроника №3/2024

ВОПРОСЫ ТЕОРИИ 56 WWW.SOEL.RU СОВРЕМЕННАЯ ЭЛЕКТРОНИКА • № 3 / 2024 Рис . 1. Аппроксимация ( а ) и дискретизация ( б ) требуемой характеристики носит стохастический характер и , есте - ственно , также требует процедуры квантования , результатом которой является стохастическая ошибка ( шум квантования ). Вопросам кванто - вания вещественных данных посвяще - но много работ [1–4]. В целом можно отметить , что при высоком порядке фильтра (N > 10) весьма существенные трудности возникают уже при кванто - вании вещественных коэффициентов до 10–12 бит . Для аналитических под - ходов ошибки квантования считаются неустранимыми и приводят к искаже - нию частотных характеристик циф - рового фильтра , необходимости мас - штабирования его коэффициентов , появлению динамических шумов кван - тования , а также к возможности появ - ления малых предельных циклов . Однако ошибки аппроксимации и квантования могут быть устранены при проектировании цифрового БИХ - фильтра современными численными методами дискретного нелинейно - го программирования , позволяющи - ми работать не с аналитическим , а с дискретным представлением харак - теристик фильтра ( рис . 1 б ), когда как исходные требуемые , так и теку - щие характеристики табулированы с заданной дискретностью их пред - ставления в частотной области и в вычислительной системе представле - ны вещественными массивами . Это даёт возможность , с одной стороны , заменить процедуру аналитической аппроксимации простой оцифровкой требуемых частотных характеристик , причём ошибка оцифровки характе - ристик даже весьма сложной формы может быть минимизирована соот - ветствующим выбором шага частот - ной дискретизации . С другой стороны , дискретное представление позволяет рассчитывать с заданной точностью все требуемые характеристики филь - тра ( включая и дисперсионные харак - теристики ) применением численных методов . Каждая j - я характеристика фильтра , характеризуемая совокупно - стью ( вектором ) скалярных частотных выборок , позволяет при - менять для синтеза технического реше - ния эффективные поисковые методы векторной оптимизации . Неустранимую ошибку квантования коэффициентов также легко устранить полностью , осуществив дискретиза - цию и параметрического простран - ства коэффициентов фильтра перед его синтезом только теми значения - ми , при которых ошибка квантования (3) равна нулю . При этом математи - ческое задание квантованного параме - трического пространства возможно как вещественным (2), так и целочислен - ным кодом (1), что позволяет проек - тировать фильтры , использующие как вещественную , так и целочисленную арифметику вычислений и дискретиза - цию коэффициентов . Целочисленные цифровые фильтры ( ЦЦФ ) являются более универсальными и практически значимыми . Можно отметить следую - щие достоинства целочисленных циф - ровых фильтров . 1. Минимальная вычислительная сложность , так как в вычислитель - ном алгоритме цифровой фильтрации любые операции над целочисленны - ми операндами осуществляются значи - тельно быстрее вещественных вычис - лений . 2. Целочисленные фильтры могут быть реализованы на любой цифро - вой платформе (MCU, DSP, FPGA) без наличия FPU (Floating Point Unit – сопроцессора ) в структуре вычисли - теля . 3. Другим важным достоинством ЦЦФ является отсутствие процедуры квантования не только коэффициентов фильтра , но и результатов промежу - точных вычислений , так как результат умножения целых чисел ( например , текущего цифрового отсчёта и коэф - фициента фильтра ) полностью детер - минирован и не требует квантования для реализации на цифровой платфор - ме с заданной разрядностью W k пред - ставления данных . При заданной бито - вой разрядности квантования входного сигнала W x достаточно выделить вну - тренний аккумуляторный регистр с разрядностью W ak = W x + W k бит для хранения результата целочисленного « умножения с накоплением » ( МАС ). Колебаний переполнения , то есть возникновения больших предельных циклов , вызванных переполнением разрядной сетки регистра - аккумуля - тора , при таком расчёте его разрядно - сти практически никогда не возникает . Умножение с накоплением характер - но при реализации как БИХ , так и КИХ цифровых фильтров . Данной опера - цией определяется и производитель - ность цифровой системы . При этом для реализации целочисленных вычисле - ний разработано большое разнообра - зие умножителей как последователь - ного , так и параллельного типа . 4. При целочисленном описании цифровые фильтры наиболее про - сто реализовать без умножителей , так как из натурального параметри - ческого множества I n легко выделить целочисленные подмножества коэф - фициентов , которые определя - ют замену умножителей сдвиговыми регистрами с заданным числом s сдви - говых сумматоров [5, 6]. 5. Целочисленное решение легко преобразовать в вещественное кванто - ванное решение формата ФТ , исполь - зуя для этого их однозначную связь через соотношение (3). Таким образом , при проектирова - нии цифрового фильтра численными методами дискретного программиро - вания осуществляется дискретизация как характеристик , так и параметров ( коэффициентов ) фильтра , что позво - ляет устранить как ошибки аппрокси - мации , так и ошибки квантования при практической реализации фильтра . В данной статье рассматриваются вопросы дискретного моделирования рекурсивных каскадных фильтров , а также постановка и решение задачи синтеза по селективному и фазовому критериям в целочисленном простран - стве коэффициентов как минимально - фазовых , так и линейно - фазовых БИХ - фильтров . Целочисленная модель каскадного БИХ - фильтра В настоящее время построение как БИХ -, так и КИХ - фильтров в форме каскадного соединения звеньев второ - го порядка на практике используется наиболее часто . Передаточная функция а б