Современная электроника №3/2024

ВОПРОСЫ ТЕОРИИ 57 WWW.SOEL.RU СОВРЕМЕННАЯ ЭЛЕКТРОНИКА • № 3 / 2024 для рекурсивного ЦЦФ , состоящего из каскадного соединения m - звеньев вто - рого порядка ( m = N /2, где N – общий порядок фильтра ), имеет следующий вид : , где комплексная переменная z при переходе к описанию частотной харак - теристики принимает значение , где Т – период дискретизации . Все коэффициенты передаточной функции (4) квантованы целочислен - ным её квантом (1), а их интервал изме - нения определяется заданной длиной битового слова ( разрядностью ) коэф - фициентов фильтра . Из соотношения (4) легко получается разностное урав - нение для одного звена целочислен - ного фильтра : , где x n , y n – целочисленные входная и выходная временны́е последователь - ности , а 0 – нормирующий коэффици - ент p о wer- о f-tw о : . На рис . 2 а приведена типичная струк - тура звеньев рекурсивного целочис - ленного фильтра , соответствующая разностному уравнению (5). Как вид - но , при вычислении отклика филь - тра кроме традиционных операций сложения , умножения и задержки на такт присутствует операция сдвига на B = log 2 a 0 бит , с помощью которой реа - лизуется целочисленное деление на нормирующий p о wer- о f-tw о коэффи - циент . Для рекурсивного вещественного квантованного фильтра в каскадной форме построения передаточная функ - ция имеет следующий вид : , а разностное уравнение звена выгля - дит так : . Здесь все значения коэффициен - тов задаются на единичном интерва - ле их изменения вещественным кван - тованным значением (2). Структура звеньев прямой формы рекурсивно - го каскадного фильтра представлена на рис . 2 б . Условие устойчивости проектиру - емого БИХ - фильтра можно предста - вить так : , где – допустимый максимальный радиус полюсов передаточной функ - ции фильтра в z- плоскости , при кото - ром предельные циклы в рекурсивной системе не возникают . Малые предельные циклы возника - ют , как известно , когда при отсутствии сигнала на входе амплитуда выходно - го сигнала затухает , но из - за вычисли - тельных погрешностей не доходит до нуля , принимая зачастую колебатель - ный характер . Возможность их воз - никновения возрастает с увеличени - ем порядка рекурсивного фильтра и во многом определяется добротностью полюсов его передаточной функции (4), (7). В настоящее время провести теоретический анализ , расчёт предель - ных циклов непросто даже для БИХ - фильтров малого порядка . Поэтому действенной , а порой и единственной альтернативой является практическая реализация синтезированного фильтра на конкретной цифровой платформе (MCU, DSP или FPGA) и эксперимен - тальный анализ амплитуды выходного сигнала при нулевом входе . В том же случае , когда предельный цикл наблю - дается , действенной мерой его устра - нения является проведение повтор - ного синтеза фильтра под меньшую допустимую добротность его полюсов . А так как добротность полюсов пропор - циональна их радиусу в z- плоскости , то достаточно задать меньшее значение допустимого радиуса полюсов переда - точной функции в интервале условия (8) и вновь синтезировать фильтр . При синтезе минимально - фазовых БИХ - фильтров аналогичное условие , как уже сказано , должно выполнять - ся и для нулей коэффициента пере - дачи , где – допустимый максимальный радиус нулей в z- плоскости . Синтез методами дискретного нели - нейного программирования позволя - ет реализовать любое значение макси - мальных радиусов как полюсов , так и нулей коэффициента передачи при решении конкретной проектной зада - чи [7, 8]. Как показала практика , при синтезе с меньшим значением макси - мального радиуса полюсов практиче - ски всегда удаётся получить проектное решение без предельных циклов того или иного рода , хотя селективная спо - собность рекурсивного фильтра при этом , естественно , снижается . Синтез со значением максимального радиуса нулей в интервале (9) позволяет полу - чать различные варианты минималь - но - фазовых фильтров . Как известно , в каскадных фор - мах построения цифровых фильтров необходима процедура масштабиро - вания сигнала , то есть равномерной раскладки усиления по каскадам . Это позволяет фильтру работать в широ - ком динамическом диапазоне вход - ных сигналов . Однако расчёт такого Рис . 2. Структура целочисленного ( а ) и вещественного ( б ) звена 2- го порядка а б (4) (5) (6) (7) (8) (9)