Современная электроника №3/2024

ВОПРОСЫ ТЕОРИИ 58 WWW.SOEL.RU СОВРЕМЕННАЯ ЭЛЕКТРОНИКА • № 3 / 2024 масштабирования ЦЦФ гораздо легче осуществлять не стандартным приме - нением L р - нормы , а прямым введе - нием требования обеспечения мало - го разброса коэффициентов передачи отдельных звеньев при дискретном синтезе фильтра [7]. Как показыва - ет практика , существенного сужения динамического диапазона не происхо - дит , если максимальные коэффициен - ты передачи его каскадов различают - ся не более чем в 3–5  раз . При более грубом покаскадном масштабирова - нии сужение динамического диапа - зона фильтра становится заметным . Формально требования масштабиро - вания сигнала записываются двусто - ронними функциональными ограни - чениями (15) экстремальной задачи дискретного синтеза . Постановка задачи дискретного программирования В общем виде задачу целочисленно - го нелинейного программирования ( ЦНП ) при машинном синтезе каскад - ного БИХ - фильтра с заданной разряд - ностью W k представления коэффици - ентов можно записать так : , , , , , , где m – число звеньев ( каскадов ) второ - го порядка , d – индекс коэффициента передаточной функции звена (4), IX – вектор многомерного пространства квантованных целочисленных коэф - фициентов , F ( IX ) – целевая функция , K i min , K i max – допустимые границы изме - нения коэффициента передачи i - го зве - на фильтра . Как видно , экстремальная зада - ча синтеза (10) записана относитель - но целочисленного пространства I 5 m параметров ( квантованных коэффи - циентов фильтра ) размерностью 5 m . Прямые ограничения (11) задают гра - ницы их изменения , функциональ - ные ограничения (13) контролируют в процессе синтеза условие устойчи - вости рекурсивного фильтра по всем полюсам коэффициента передачи с радиусами , не превышающими , а ограничения (14) контролируют в процессе синтеза нули коэффициен - та передачи при синтезе минималь - но - фазовых вариантов БИХ - фильтров . Ограничения (15) масштабируют коэф - фициенты передачи звеньев в задан - ный интервал . В алгоритме миними - зации реализация функциональных ограничений осуществляется приме - нением штрафных функций [9, 10]. Численное решение экстремальной задачи (10) в квантованном простран - стве коэффициентов формата ФТ воз - можно только применением сеточных алгоритмов поисковой минимизации , когда дискретность сетки поиска зада - ётся числом двоичных разрядов Wk , которыми в кодовом пространстве ото - бражается каждая i - я переменная . Этим требованиям вполне отвечает поиско - вый алгоритм глобальной минимиза - ции полимодальных целевых функций на детерминированной сетке [7, 10]. Построение минимизирующей после - довательности на дискретной сетке формата ФТ в данном алгоритме осу - ществляется при помощи так называ - емых сфер поиска с изменяющимися радиусами . Таким образом , при после - довательном автоматическом расшире - нии и сужении сфер поиска происхо - дит направленное сканирование всей дискретной области поиска без полного её перебора . Характерными особенно - стями данного поискового алгоритма является высокая надёжность отделе - ния глобального экстремума , малые потери на поиск , эффективная работа в пространстве высокой размерности , а также отсутствие априори настраи - ваемых параметров . Многофункциональное задание целевой функции в проектных задачах обычно формируется в виде взвешен - ной суммы частных целевых функций f i ( IX ), которые определяют выполнение функциональных требований по той или иной частотной характеристике фильтра : . Коэффициент β i задаёт значимость ( вес ) характеристики . Сами частные целевые функции f i ( IX ) наиболее часто формируют по критерию минимума среднеквадратичного отклонения , где Y n ( IX ) – текущее значение харак - теристики фильтра на n - й дискретной частоте диапазона определения , а Y n T – требуемое значение частотной харак - теристики фильтра . В некоторых случаях для форми - рования частных целевых функций используется и критерий максималь - ной ошибки . Вектор IX О , минимизирующий скалярную полимодальную целе - вую функцию F ( IX ) на допустимом дискретном множестве (11), являет - ся Парето - эффективным решением задачи ЦНП - синтеза целочисленного фильтра по совокупности противоре - чивых характеристик . Следует отметить , что , в отличие от классического аналитического расчёта по аналоговому прототипу , поисковое проектирование является , безусловно , интеллектуальным процессом . Множе - ство сценариев решения сложной про - ектной задачи может быть предложе - но , много специфических приёмов и навыков может быть применено опыт - ным проектировщиком - поисковиком для успешного решения сложной зада - чи [7, 8]. Очевидно , что прямой сце - нарий решения сразу в многомерном пространстве параметров минималь - ной разрядности коэффициентов малоэффективен и не приведёт к при - емлемому результату . Только в отно - сительно простых задачах синтеза фильтров низкого порядка (N ≤ 10) удовлетворительное решение может быть получено подобным образом . Типовым же сценарием поискового синтеза каскадных фильтров высоко - го порядка является сценарий дина - мического программирования как последовательность поисковых задач с поэтапным повышением порядка проектируемого фильтра . На первом , стартовом этапе используют структу - ру низкого порядка (4- го или 6- го , не выше ). Естественно , выполнение сово - купных требований таким фильтром будет низкое . При этом для повышения надёжности отделения глобального экстремума в пакете ЦНП - синтеза на стартовом этапе желательно использо - вать максимальную или непрерывную модель поиска ( рис . 3). На втором эта - пе уже данное решение используется в качестве исходного . Порядок фильтра при этом повышают добавлением ещё одного звена второго порядка , обычно путём дублирования найденных ранее коэффициентов одного из звеньев ( что в пакете синтеза может делаться авто - матически ). После нескольких подоб - ных итераций и определяется итого - вый порядок проектируемого фильтра , при котором погрешность выполне - (10) (13) (14) (15) (12) (11) (16) (17)